#import "@preview/zero:0.5.0": num, set-round
#import "@preview/oxifmt:1.0.0": strfmt

= Numerično računanje kotnih funkcij

*Naloga*: Izračunati želimo vrednosti kotnih funkcij na *10 decimalnih mest* natančno. 

Da bo funkcija uporabna, zahtevamo naslednje lastnosti:
- časovna zahtevnost je omejena enakomerno po celem definicijskem območju
- relativna mapaka je enakomerno omejena
- uporabnik funkciji poda zgolj argument, izbiro algoritma in število potrebnih korakov opravi funkcija sama. 

Graf prikazuje razliko med sinusno funkcijo in prvimi tremi členi Taylorjeve vrste v točki 0.

//Vstavi sliko!
#image("napaka.svg")

Uporabimo adicijske izreke za kotne funkcije. Ker želimo izračunati za velike vrednosti, uporabimo formulo za dvojni kot

$
  sin(2alpha) = 2sin(alpha)cos(alpha).
$

Težava je, da formula vsebuje tudi vrednost funkcije $cos(alpha)$. Problem rešimo tako, da hkrati računamo obe funkciji $sin(x)$ in $cos(x)$. Napisali bomo funkcijo sincos(x)

// vstavi signaturo

Ekvivalent formule /*vstavi referenco!*/ za dvojni kot za $sin$ je 

$
  cos(2alpha) = cos^2(alpha)-sin^2(alpha)
$

// vstavi tabelo napak
#let x_tab = (0.01, 0.05, 0.1, 0.5)
#let sin_t3(x) = x*(1+x*x*(-(1/6) + x*x/120))
#let cos_t3(x) = 1 + x*x*(-1/2 + x*x/24)
#let fmt(x) = num(strfmt("{:.2e}", x))
#let sin_x = x_tab.map(
  (x)=>fmt(calc.sin(x) - sin_t3(x)))
#let cos_x = x_tab.map(
  (x)=>fmt(calc.cos(x)-cos_t3(x)))
#set-round(mode: "figures", precision: 3)
#table(columns: x_tab.len() + 1, $x$, ..x_tab.map((x)=>str(x)), $sin(x)-T_(sin)(x)$, ..sin_x, $cos(x)-T_(cos)(x)$, ..cos_x)